jueves, 10 de enero de 2008

LOGICA BINARIA

Lógica binaria

La lógica binaria trabaja con variables binarias y operaciones lógicas. Así, las variables sólo tomarán dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso); aunque también se pueden denotar como y no, ó 1 y 0 respectivamente.

Principio de dualidad

Todas las expresiones booleanas permanecen válidas si se intercambian los operadores '+' y '·', y los elementos '0' y '1'.

Así para obtener una expresión algebraica dual, se intercambian los operadores AND y OR y se reemplazan unos por ceros y viceversa.

Tablas de verdad de las operaciones binarias fundamentales

AND

0\cdot0\;=0
0\cdot1\;=0
1\cdot0\;=0
1\cdot1\;=1

Resumiendo, el resultado siempre dará 0 a menos que ambas variables valgan 1. (Equivale a la multiplicación)

OR

0+0=0 \;\!
0+1=1 \;\!
1+0=1 \;\!
1+1=1 \;\!

Resumiendo, el resultado arrojado será siempre 1 si al menos una de las variables tiene por valor 1.

NOT

\bar{0}=1\;
\bar{1}=0\;

El not es una inversión del valor como se ve. (Equivale a restar el valor inicial de 1)

Siguiendo el Álgebra de Boole se pueden combinar estas operaciones empleando varias variables y obteniendo resultados más complejos. A continuación una tabla de verdad de una operación lógica compuesta.

Ejemplo:

A · (B + C) = A · (B + C)

A B C   Resultado
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Axiomas [editar]

Las propiedades definen reglas precisas para transformar unas expresiones en otras equivalentes. Los axiomas son propiedades primitivas.

Propiedad conmutativa (el resultado no depende del orden)

A + B= B + A  \,\!
A \cdot B=B\cdot A

Propiedad asociativa (el resultado no depende de el modo de asociación)

A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C  \,\!
A \cdot (B\cdot C)=(A \cdot B) \cdot C=A \cdot B \cdot C \,\!

Propiedad distributiva (una operación se distribuye en una asociación)

A \cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C
A+(B \cdot C)=(A + B) \cdot (A + C)

Otras propiedades

  • 0\cdot A=0
  • 1\cdot A=A
  • 0+A=A \,\!
  • 1+A=1 \,\!
  • \overline{\overline{A} \;} \;=A
  • A + A= A \,\!
  • A\cdot \;  A= A
  • A+ \overline{A} \;=1
  • A\cdot \;\overline{A} \;=0
  • A+(A \cdot B)=A
  • A \cdot (A + B)=A
  • A+(\overline{A} \cdot B)=A+B
  • A \cdot (\overline{A} + B)=A \cdot B

Leyes de Morgan

  • \overline{(A+B)} \;= \overline{A} \;\cdot \;\overline{B} \;
  • \overline{(A\cdot \;B)} \;= \overline{A} \;+\overline{B} \;

Operadores no fundamentales XOR, XNOR e IMPLIES

Los operadores no fundamentales pueden expresarse a partir de los operadores fundamentales

  • XOR:
A \oplus \; B= \overline{A} \;\cdot \;B +\overline{B} \;\cdot \;A
0\oplus \;0=0 \,\!
0\oplus \;1=1 \,\!
1\oplus \;0=1 \,\!
1\oplus \;1=0 \,\!

XOR se conoce como OR exclusiva

  • XNOR:
A \bigodot \; B=A \cdot \; B +\overline{B} \; \cdot \; \overline{A} \;
0\bigodot \;0=1 \,\!
0\bigodot \;1=0 \,\!
1\bigodot \;0=0 \,\!
1\bigodot \;1=1 \,\!

XNOR equivale a sí-y-sólo-si

  • IMPLIES:
A \rightarrow \; B = \overline{A} \; + B \,\!
0\rightarrow \;0=1 \,\!
0\rightarrow \;1=1 \,\!
1\rightarrow \;0=0 \,\!
1\rightarrow \;1=1 \,\!

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